Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．

（1）求直线的普通方程；

（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）椭圆的内接矩形的周长取得最大值．

【解析】试题分析：(1)由直线的参数方程为（为参数）消去参数t，得到直线的普通方程；（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），则周长为，利用辅助角公式“化一”求最值即可.

试题解析：

（1）因为曲线的极坐标方程为，即，

将， 代入上式并化简得，

所以曲线的直角坐标方程为，于是， ，

直线的普通方程为，将代入直线方程得，

所以直线的普通方程为．

（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），

所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），

此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．