【题目】设是在点处的切线．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求证： ；

（Ⅲ）设，其中．若对恒成立，求的取值范围．

参考答案：

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由导数值得切线斜率，进而得切线方程，即可求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）令，求导证得；

（Ⅲ），① 当时，由（Ⅰ）得 ，可得，进而得在区间上单调递增， 恒成立，② 当时，可得在区间上单调递增，存在，使得， ，此时不会恒成立，进而得的取值范围.

试题解析：

（Ⅰ）设，则，所以．

所以．

（Ⅱ）令．

满足，且．

当时， ，故单调递减；

当时， ，故单调递增．

所以， ）．

所以．

（Ⅱ）的定义域是，且．

① 当时，由（Ⅰ）得 ，

所以 ．

所以 在区间上单调递增，

所以 恒成立，符合题意．

② 当时，由，

且的导数，

所以 在区间上单调递增．

因为 ， ，

于是存在，使得．

所以 在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以 ，此时不会恒成立，不符合题意．

综上， 的取值范围是．

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