Question

【题目】已知在平面直角坐标系中， 为坐标原点，曲线： （为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线： .

（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）曲线上恰好存在三个不同的点到直线的距离相等，分别求出这三个点的极坐标.

Answer 1

【答案】（I）， ；（II）： 、.

【解析】试题分析：（1）平方相加消去参数，即可得到曲线的普通方程，利用两角和的正弦公式极坐标与直角坐标互化求出直线的直角坐标方程；（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的直角坐标，然后利用互化公式可求解这三点的极坐标.

试题解析：（Ⅰ）曲线，

可得：

曲线的普通方程： .

直线： .

直线的直角坐标方程： .

（Ⅱ）∵圆的圆心半径为2，圆心到直线的距离为1，

∴这三个点在平行直线与上，如图：直线与与的距离为1.

： ， ： .

可得

两个交点；

解得，

这三个点的极坐标分别为： 、.