Question

【题目】已知单调递增的等比数列满足，且是， 的等差中项.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的通项公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设，问是否存在实数使得数列（）是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）; （Ⅲ）.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意求得， ，∴；

(Ⅱ)利用题意错位相减可得 ；

(Ⅲ)题中不等式转化为，分类讨论当为大于或等于4的偶数，当为大于或等于3的奇数时，两种情况可得的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）设此等比数列为， ， ， ，…，其中， .

由题意知： ，①

.②

②①得，

即，解得或.

∵等比数列单调递增，∴， ，∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（），

由（），

得（），

故，即（），

当时， ， ，∴ ；

（Ⅲ）∵，

∴当时， ， ，

依据题意，有，

即，

①当为大于或等于4的偶数时，有恒成立，

又随增大而增大，

则当且仅当时， ，故的取值范围为；

②当为大于或等于3的奇数时，有恒成立，且仅当时， ，故的取值范围为；

又当时，由，得，

综上可得，所求的取值范围是.