Question

【题目】设有关x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4=0．
（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

【答案】解：（1）由题意，知基本事件共有9个，可用有序实数对表示为（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），
其中第一个表示a的取值，第二个表示b的取值
由方程9x2+6ax﹣b2+4=0的△=36a2﹣36（﹣b2+4）≥0a2+b2≥4
∴方程9x2+6ax﹣b2+4=0有实根包含7个基本事件，即（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
∴此时方程9x2+6ax﹣b2+4=0有实根的概率为
（2）a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2
∴构成“方程9x2+6ax﹣b2+4=0有实根”这一事件的区域为{（a，b）|a2+b2≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}（图中阴影部分）．
∴此时所求概率为

【解析】（1）利用有序实数对表示基本事件，由古典概型公式解答；
（2）表示a，b满足的区域，求出面积，利用几何概型解答．
【考点精析】通过灵活运用几何概型，掌握几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等即可以解答此题．