Question

【题目】已知椭圆： ， 分别是其左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ;(Ⅱ) ．

【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件可得 ，因此 ，(2) 将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式可得关于直线斜率的函数关系式，再根据中点坐标公式列出线段的垂直平分线，并求与轴交点横坐标，根据点横坐标的取值范围，确定直线斜率取值范围，最后根据直线斜率取值范围确定的最小值.

试题解析：（Ⅰ） 由题意可知，

∴，故椭圆的方程为.

(Ⅱ) 设直线方程为，

代入有，

设， 中点，

∴.

∴

∴的垂直平分线方程为，

令，得

∵，∴，∴．

，

．