Question

【题目】已知函数.

（1）过原点作函数图象的切线，求切点的横坐标；

（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）设切点坐标，利用导数几何意义以及切点在切线上，也在曲线上列方程组，解得切点的横坐标；(2)不等式恒成立问题往往转化为对应函数最值问题： 对， 恒成立等价于的最小值不小于零，根据导函数符号变化规律，分类讨论函数单调性，进而得函数最值，验证是否满足条件，确定实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）设切点为 ，直线的切线方程为

， ，

即直线的切线方程为

又切线过原点,所以，

由 ，解得 ，所以切点的横坐标为 .

（Ⅱ）方法一：∵不等式对， 恒成立,

∴对， 恒成立.

设， ， ， .

①当时， ， 在， 上单调递减，

即， 不符合题意.

②当时， .设，

在， 上单调递增，即.

（ⅰ）当时，由，得， 在， 上单调递增，即， 符合题意；

（ii）当时， ， ， 使得，

则在， 上单调递减，在， 上单调递增，

，则不合题意.

综上所述， .

（Ⅱ）方法二：∵不等式对， 恒成立,

∴对， 恒成立.

当时， ；当时， ，

不恒成立；同理取其他值不恒成立.

当时， 恒成立；

当时， ，证明恒成立.

设， ， ，

.∴在， 为减函数．

，∴.

（Ⅱ）方法三：∵不等式对，恒成立,

∴等价于对， 恒成立.

设，当时， ；∴，

函数过点（0,0）和（1,0），函数过点（1.0），在恒成立，

一定存在一条过点（1,0）的直线和函数、都相切或，一定存在一条过点（1,0）的直线相切和函数相交，但交点横坐标小于1，

当都相切时．

不大于等于0.

∴.