Question

【题目】已知曲线

若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；

若曲线表示圆，且直线与圆交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或 (即)（2）

【解析】试题分析：（1）根据垂径定理求出圆心到直线距离为1 ，再根据点到直线距离公式求直线的斜率，即得直线方程，（2）先根据曲线表示圆得实数取值范围为.再根据以为直径的圆过原点得，利用向量数量积可得，根据直线方程进一步化简得，最后联立直线方程与圆方程，结合韦达定理化简得．

试题解析：解(1) 当时, 曲线C是以为圆心,2为半径的圆,

若直线的斜率不存在,显然不符，

故可直线为: ，即．

由题意知，圆心到直线的距离等于，

即:

解得或.故的方程或 (即)

(2)由曲线C表示圆，即，

所以圆心C（1,2），半径，则必有.

假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，设，

则，由得

，即，又，

故,从而

, 故存在实数使得以为直径的圆过原点， ．