Question

【题目】记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．

（1）证明：函数与不存在“S点”；

（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）a的值为

（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．

【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合 “S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.

详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．

由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得

，此方程组无解，

因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．

（2）函数，，

则．

设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得

，即，（*）

得，即，则．

当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．

因此，a的值为．

（3）对任意a>0，设．

因为，且h（x）的图象是不间断的，

所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．

函数，

则．

由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得

，即（**）

此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．

因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．