Question

【题目】等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=2log3an+1，且数列{ }的前n项和为Tn ． 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的公比为q，∵2a2为3a1和a3的等差中项，∴2×2a2=3a1+a3，化为4a1q= ，∴q2﹣4q+3=0，

解得q=1或3．又a2﹣a1=2，∴a1（q﹣1）=2，q≠1，∴ ．

∴an=3n﹣1

（2）解：bn=2log3an+1=2n﹣1，

∴ = = ．

∴数列{ }的前n项和为Tn=

=

= ．

【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2=3a1+a3 ， 利用等比数列的通项公式代入化简为q2﹣4q+3=0， 解得q．又a2﹣a1=2，a1（q﹣1）=2，q≠1，解出即可得出．（2）bn=2log3an+1=2n﹣1，可得 = = ．再利用“裂项求和”方法即可得出．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．