Question

【题目】已知函数，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若是函数的两个不同的零点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明见解析

【解析】

(1)求出，对参数分和讨论，即可到答案；

(2)根据零点方程，变形消去参数，可得，然后整理可得，设，，，则，，问题转化为要证，即证，，.即证当时，有，构造函数，，只需证明即可．

(1)函数的定义域为，，

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，令，得；令，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

综上所述：当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

(2)因为是方程的两个不同实根，不妨设.

于是，有，解得.

另一方面，由，得，

从而可得，

于是，.

又，设，则.因此，，.

要证，即证：，.即证当时，有.

设函数，，则，

所以，为上的增函数.注意到，，因此，.

于是，当时，有.所以，有成立.