【题目】已知椭圆:
的离心率为
,以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为、
,当动点
在定直线
上运动时,直线
分别交椭圆于两点
、
,求四边形
面积的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ) 离心率为
,以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为
,结合
,列方程组求得
的值,即可求出椭圆
的方程;(Ⅱ)点
,直线
的方程
代入椭圆方程
,得
,利用韦达定理解出
点坐标,同理可求得
点的坐标,利用三角形面积公式将四边形面积表示为
的函数,利用换元法结合函数单调性求解即可.
试题解析:(Ⅰ)由题设知, ,
又,解得
,
故椭圆的方程为
.
(Ⅱ)由于对称性,可令点,其中
.
将直线的方程
代入椭圆方程
,得
,
由,
得
,则
.
再将直线的方程
代入椭圆方程
,得
,
由,
得
,则
.
故四边形的面积为
.
由于,且
在
上单调递增,故
,
从而,有.
当且仅当,即
,也就是点
的坐标为
时,四边形
的面积取最大值6.
注:本题也可先证明”动直线恒过椭圆的右焦点
”,再将直线
的方程
(这里
)代入椭圆方程
,整理得
,然后给出面积表达式
,令
,
则,当且仅当
即
时,
.
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【题目】在平面直角坐标系中,点
,直线
的参数方程为
为参数),以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于不同的两点
是线段
的中点,当
时,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数,
.
(1)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)是函数
的极值点,求函数
的单调区间;
(3)在(2)的条件下,,若
,
,使不等式
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数,
为直线
的倾斜角).以原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,并在两个坐标系下取相同的长度单位.
(1)当时,求直线
的极坐标方程;
(2)若曲线和直线
交于
,
两点,且
,求直线
的倾斜角.
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【题目】已知集合,若对于任意
,存在
,使得
成立,则称集合
是“
集合”.给出下列5个集合:
①;②
;③
;
④;⑤
.
其中是“集合”的所有序号是( )
A.②③B.①④⑤C.②③⑤D.①②④
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【题目】为准确把握市场规律,某公司对其所属商品售价进行市场调查和模型分析,发现该商品一年内每件的售价按月近似呈的模型波动(
为月份),已知3月份每件售价达到最高90元,直到7月份每件售价变为最低50元.则根据模型可知在10月份每件售价约为_____.(结果保留整数)
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系,将曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的
,得到曲线
,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线的参数方程;
(Ⅱ)过原点且关于
轴对称的两条直线
与
分别交曲线
于
、
和
、
,且点
在第一象限,当四边形
的周长最大时,求直线
的普通方程.
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