Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．

（1）求证：PA∥平面BMD；

（2）求证：AD⊥PB；

（3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）设AC和BD交于点O，MO为三角形PAC的中位线可得MO∥PA，再利用直线和平面平行的判定定理，证得结论．

（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，再由cos∠BAD，证得 AD⊥BD，可证AD⊥平面PBD，从而证得结论．

（3）点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离h，求出MN、MO的值，利用等体积法求得点C到平面MBD的距离h．

（1）证明：设AC和BD交于点O，则由底面ABCD是平行四边形可得O为AC的中点．

由于点M为PC的中点，故MO为三角形PAC的中位线，故MO∥PA．再由PA不在平面BMD内，而MO在平面BMD内，

故有PA∥平面BMD．

（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，平行四边形ABCD中，∵∠BCD＝60°，AB＝2AD，

∴cos∠BADcos60°，∴AD⊥BD．

这样，AD垂直于平面PBD内的两条相交直线，故AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB．

（3）若AB＝PD＝2，则AD＝1，BD＝ABsin∠BAD＝2，

由于平面BMD经过AC的中点，故点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离．

取CD得中点N，则MN⊥平面ABCD，且MNPD＝1．

设点C到平面MBD的距离为h，则h为所求．

由AD⊥PB 可得BC⊥PB，故三角形PBC为直角三角形．

由于点M为PC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得MD＝MB，故三角形MBD为等腰三角形，

故MO⊥BD．

由于PA，∴MO．

由VM﹣BCD＝VC﹣MBD 可得，（）MN（BD×MO ）×h，

故有 （）×1（）h，

解得h．