Question

【题目】已知为定义在 上的奇函数，当时，函数解析式为.

（Ⅰ）求的值，并求出在上的解析式；

（Ⅱ）求在上的最值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上的解析式为f（x）＝2x－4x ；（Ⅱ）函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2.

【解析】

试题（Ⅰ）由于f（x）为定义在[－1,1]上的奇函数，故f（0）＝0，即f（0）＝＝1－＝0.从而＝1.

设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．由f（－x）＝－f（x）即可得在上的解析式.（Ⅱ）当x∈[0,1]，f（x）＝2x－4x＝2x－（2x）2，设t＝2x（t>0），则f（t）＝t－t2.这样转化为求二次函数在给定区间上的最大值，最大值.

试题解析：解：（Ⅰ）∵f（x）为定义在[－1,1]上的奇函数，且f（x）在x＝0处有意义，

∴f（0）＝0，即f（0）＝＝1－＝0.

∴＝1.

设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．

∴f（－x）＝－＝4x－2x.

又∵f（－x）＝－f（x）

∴－f（x）＝4x－2x.

∴f（x）＝2x－4x.

所以，在 [上的解析式为f（x）＝2x－4x

（Ⅱ）当x∈[0,1]，f（x）＝2x－4x＝2x－（2x）2，

∴设t＝2x（t>0），则f（t）＝t－t2.

∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．

当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.

当t=0时，取最小值为-2.

所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2.