Question

【题目】已知△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2 sinB，a=3c
（Ⅰ）分别求tanC和sin2C的值；
（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ 或 （舍），即 ，
∵a=3c，根据正弦定理可得：sinA=3sinC，
∵sin（B+C）=sinA，
∴ ，
经化简得： ，
∴ ．
根据基本关系式可计算得： ，
∴ ．
（Ⅱ）∵ ，
∴ ，
根据余弦定理及题设可得： ，
解得： ，
∴
【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简 ，可得 ，结合B的范围即可求得 ，由a=3c，根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 ，根据基本关系式可计算得sinC，cosC的值，利用倍角公式即可求得sin2C的值．（Ⅱ）由 ，根据余弦定理及题设可解得c，a的值，利用三角形面积公式即可计算求解．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此题．