Question

【题目】已知函数f（x）= 是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（1）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= 是定义在（﹣1，1）上的奇函数，

∴f（0）=0，

又∵f（1）=1．

∴ ，

解得： ，

∴函数f（x）=

（2）解：f（x）在（﹣1，1）上单调递增，理由如下：

∵f′（x）= ，

当x∈（﹣1，1）时，f′（x）≥0恒成立，

故f（x）在（﹣1，1）上单调递增

【解析】（1）根据奇函数的特性，可得f（0）=0，结合f（1）=1，构造方程组，解得函数f（x）的解析式；（2）利用导数法，可证得f（x）在（﹣1，1）上单调递增．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．