Question

【题目】北京时间3月10日，CBA半决赛开打，采用7局4胜制（若某对取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格），采用2﹣3﹣2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势（新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场），以下是总决赛赛程：

日期	比赛队	主场	客场	比赛时间	比赛地点
17年3月10日	新疆﹣辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐
17年3月12日	新疆﹣辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐
17年3月15日	辽宁﹣新疆	辽宁	新疆	20：00	本溪
17年3月17日	辽宁﹣新疆	辽宁	新疆	20：00	本溪
17年3月19日	辽宁﹣新疆	辽宁	新疆	20：00	本溪
17年3月22日	新疆﹣辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐
17年3月24日	新疆﹣辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐

（1）若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为 ，客场取胜的概率均为 ，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；
（2）根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元（与主客场无关），若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为 ，设本次半决赛中（只考虑这两支队）组织者所获得的门票收入为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设“辽宁队以比分4：1获胜”为事件A，“第i场比赛取胜”记作事件Ai，由赛程表可知：

P（A1）=P（A2）= ，P（A3）=P（A4）=P（A5）= ．

则P（A）=P（ A2A3A4A5）+P（ A3A4A5）+P（A1A2 A4A5）+P（A1A2A3 A5）= + + + =

（2）解：X的所有可能取值为200，250，300，350

设“辽宁队以4：0取胜”为事件A4，“四川队以4：0取胜”为事件B4；

“辽宁队以4：1取胜”为事件A5，“四川队以4：1取胜”为事件B5；

“辽宁队以4：2取胜”为事件A6，“四川队以4：2取胜”为事件B6；

“辽宁队以4：3取胜”为事件A7，“四川队以4：3取胜”为事件B7；

则P（X=4）=P（A4）+P（B4）= = ．P（X=5）=P（A5）+P（B5）= = ．

P（X=6）=P（A6）+P（B6）= = ．

P（X=7）=P（A7）+P（B7）= × × = ．

∴X的分布列为：

X	200	250	300	350
P

E（X）=200× +250× +300× +350× =290.625

【解析】（1）设“辽宁队以比分4：1获胜”为事件A，“第i场比赛取胜”记作事件Ai，由赛程表可知： P（A1）=P（A2）= ，P（A3）=P（A4）=P（A5）= ．利用P（A）=P（ A2A3A4A5）+P（ A3A4A5）+P（A1A2 A4A5）+P（A1A2A3 A5）即可得出．（2）X的所有可能取值为200，250，300，350．设“辽宁队以4：0取胜”为事件A4 ， “四川队以4：0取胜”为事件B4；“辽宁队以4：1取胜”为事件A5 ， “四川队以4：1取胜”为事件B5；“辽宁队以4：2取胜”为事件A6 ， “四队以4：2取胜”为事件B6；“辽宁队以4：3取胜”为事件A7 ， “四川队以4：3取胜”为事件B7；可得P（X=i）=P（Ai）+P（Bi）即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．