Question

【题目】已知⊙H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四个部分,且截x轴所得线段的长为2。

(I)求⊙H的方程;

(Ⅱ)若存在过点P(0,b)的直线与⊙H相交于M，N两点,且点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（I）设的方程为，由题意可知圆心一定是两直线的交点，可得交点为，所以. 又截x轴所得线段的长为2，所以.，即可得到⊙H的方程;

（II）法一：如图， 的圆心，半径，

过点N作的直径，连结.

由题可得“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”.

由此得到实数b的取值范围

法二：如图， 的圆心，半径，连结，

过作交于点，并设.

由题意得，所以，

又因为，所以，由此得到实数b的取值范围

试题解析：（I）设的方程为，

因为被直线分成面积相等的四部分，

所以圆心一定是两直线的交点，

易得交点为，所以.

又截x轴所得线段的长为2，所以.

所以的方程为.

（II）法一：如图， 的圆心，半径，

过点N作的直径，连结.

当与不重合时， ，

又点是线段的中点；

当与重合时，上述结论仍成立.

因此，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”.

由图可知，即，即.

显然，所以只需，即，解得.

所以实数的取值范围是.

法二：如图， 的圆心，半径，连结，

过作交于点，并设.

由题意得，

所以，

又因为，所以，

将代入整理可得，

因为，所以，，解得.