Question

【题目】一次函数f（x）是R上的增函数，已知f[f（x）]=16x+5，g（x）=f（x）（x+m）．
（1）求f（x）；
（2）若g（x）在（1，+∞）单调递增，求实数m的取值范围；
（3）当x∈[﹣1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是R上的增函数，

∴设f（x）=ax+b，a＞0，

f[f（x）]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x+5，

∴a2=16，ab+b=5，

解得a=4，b=1或a=﹣4，b=﹣ （不合题意舍去），

∴f（x）=4x+1

（2）解：g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x2+（4m+1）x+m，

对称轴为x=﹣ ，

由题意可得﹣ ≤1，解得m≥﹣

（3）解：由于g（x）为开口向上的抛物线，

可得g（x）的最大值为端点处的函数值．

当g（﹣1）取得最大值时，即﹣3（m﹣1）=13，解得m=﹣ ；

当g（3）取得最大值时，即13（m+3）=13，解得m=﹣2．

当m=﹣2时，对称轴为x=﹣ = ，g（﹣1）=9＜g（3）=13；

当m=﹣ 时，对称轴为x=﹣ = ，g（﹣1）=13＞g（3）=﹣13．

综上可得，m=﹣2或﹣

【解析】（1）设f（x）=ax+b，a＞0，代入条件，由恒等式的性质可得方程，解方程可得f（x）的解析式；（2）求得g（x）的解析式和对称轴方程，再由单调性可得﹣ ≤1，解不等式即可得到所求范围；（3）根据抛物线的开口向上，可得最大值在端点处取得，解方程可得m的值，注意检验即可得到．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集，以及对函数的最值及其几何意义的理解，了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．