Question

【题目】已知函数f（x）= +m为奇函数，m为常数．
（1）求实数m的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若关于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= +m为奇函数，

∴f（0）=1+m=0．

解得：m=﹣1，

当m=﹣1时，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，

故m=﹣1

（2）解：由（1）得，f（x）= ﹣1在R上为减函数，理由如下；

证法一：设x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）= ﹣1﹣ +1= ，

∵ ， ＞0， ，

故f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2）

∴故f（x）= ﹣1在R上为减函数；

证法二：∵f（x）= ﹣1

∴f′（x）=﹣ ＜0恒成立，

故f（x）= ﹣1在R上为减函数

（3）解：若关于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，

即关于x的不等式f（f（x））+f（﹣a）＜0有解，

即关于x的不等式f（f（x））＜﹣f（﹣a）=f（a）有解，

即关于x的不等式f（x）＞a有解，

当x→∞时，f（x）→1，

故a＜1

【解析】（1）由函数f（x）= +m为奇函数，f（0）=0，可得实数m的值；（2）f（x）= ﹣1在R上为减函数，证法一：设x1＜x2 ， 作差判断出f（x1）＞f（x2），可得：故f（x）= ﹣1在R上为减函数；证法二：求导，根据f′（x）=﹣ ＜0恒成立，可得：f（x）= ﹣1在R上为减函数；（3）若关于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，即关于x的不等式f（x）＞a有解，求出函数值的上界，可得答案．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数的奇偶性是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．