Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求该函数的定义域；

（2）当时，如果对任何都成立，求实数的取值范围；

（3）若，将函数的图像沿轴方向平移，得到一个偶函数的图像，设函数的最大值为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）最小值为1.

【解析】

（1）解真数大于0的不等式即可；

（2）通过分离参数，将问题转化为恒成立问题，进而求得a的取值范围；

（3）先设出平移t个单位，再根据g（x）为偶函数得，然后根据对数函数的单调性求得h（a），最后由基本不等式求得h（a）的最小值。

（1）a=-1时，f（x）=log2（ax2+2x-a）=log2（-x2+2x+1），

解-x2+2x+1＞0得

所以函数的定义域为

（2） 当a≤0时，f（x）≥1即log2（ax2+2x-a）≥1，

即ax2+2x-a-2≥0对任何x∈[2，3]都成立，

则

令，因为当x∈[2，3]时是单调递增函数

所以

所以，又因为

所以a的取值范围为

（3）当a＜0时，设将f（x）的图象沿x轴方向平移t个单位得到g（x）的图象，

则g（x）=[a（x+t）2+2（x+t）-a]=[ax2+（2at+2）x+at2+2t-a]，

因为g（x）为偶函数，所以g（-x）=g（x），

则[ax2-（2at+2）x+at2+2t-a]=[ax2+（2at+2）x+at2+2t-a]，

所以2at+2=0，所以

所以

因为a＜0所以x=0时，

因为此时，解得

所以

即的最小值为1