Question

【题目】已知正三棱柱的所有棱长都相等，分别为的中点.现有下列四个结论：

：； ：；

：平面； ：异面直线与所成角的余弦值为.

其中正确的结论是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：根据题意，判断AC1与MN不平行，是异面直线，知p1错误；利用线面垂直的定义判断A1C⊥C1N，知p2正确；判断B1C⊥平面AOP，得出B1C与平面AMN不垂直，知p3错误；找出异面直线AB与MN所成的角，计算余弦值，知p4正确．

详解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别为B1C1，BB1的中点；

对于p1：如图①所示，

MN∥BC1，BC1∩AC1=C1，

∴AC1与MN不平行，是异面直线，p1错误；

对于p2：如图②所示，

连接AC1，交A1C于点O，连接ON，

易知A1C⊥AC1，ON⊥平面ACC1A1，

∴ON⊥A1C，

又ON∩AC1=O，

∴A1C⊥平面ONC1，

∴A1C⊥C1N，p2正确；

对于p3：如图③所示，

取BC的中点O，连接AO，BC1，

过点O作OP∥BC1，交CC1于点P，

连接AP，则AO⊥平面BCC1B1，

∴AO⊥B1C，

又BC1∩⊥OP，

∴B1C⊥OP，

∴B1C⊥平面AOP，

又平面ABC1与平面AOP有公共点A，

∴B1C与平面AMN不垂直，p3错误；

对于p4，如图④所示，

连接BC1，AC1，则MN∥BC1，

∴∠ABC1是异面直线AB与MN所成的角，

设AB=1，则AC1=BC1=，

∴cos∠ABC1=p4正确．

综上，其中正确的结论是p2、p4．

故答案为：C