Question

【题目】设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M[1，4]，求实数a的范围．

Answer 1

【答案】解：M[1，4]有两种情况：其一是M=，此时△＜0；其二是M≠，此时△=0或△＞0，
分三种情况计算a的取值范围．
设f （x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．
（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=[1，4]．
（2）当△=0时，a=﹣1或2．
当a=﹣1时，M={﹣1}[1，4]，故舍去．
当a=2时，M={2}[1，4]．
（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．
设方程f （x）=0的两根为x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ，
那么M=[x1 ， x2]，由M[1，4]可得 1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，
且f （x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即，
∴，解得2＜a≤．
综上可得，M[1，4]时，a的取值范围是 （﹣1，]．
【解析】M[1，4]有两种情况：其一是M=，此时△＜0；其二是M≠，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．