Question

【题目】已知椭圆C: ()的右焦点为F(2,0),且过点P(2, ). 直线过点F且交椭圆C于A、B两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程。

Answer 1

【答案】（1）；（2） 或

【解析】试题分析：（1）设椭圆C的方程为,则 ，解出即可得方程；

（2）当斜率不存在时,不符合题意，当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x－2), AB的中点为N（x0，y0），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k表示出AB中点N的坐标，由题意得kMNk=-1，即，把x0，y0用k表示出来即得关于k的方程，解出方程然后运用点斜式即可求得l的方程.

试题分析：

（1）设椭圆C的方程为,则 ,解得,,所以椭圆C的方程为,

（2）当斜率不存在时,不符合题意，当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x－2),

A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0),

由得,

因为, 所以,

所以,, 因为线段AB的垂直平分线过点M(),

所以,即,所以, 解得, ,

所以直线l的方程为 或