Question

【题目】试讨论函数f（x）= 在区间[0，1]上的单调性．

Answer 1

【答案】解：f（x）= 在区间[0，1]上是减函数，理由如下：
证法一：设x1、x2∈﹣1，1]且x1＜x2 ， 即﹣1≤x1＜x2≤1．
f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = =﹣ ，
∵x2﹣x1＞0， ＞0，
∴当x1＞0，x2＞0时，x1+x2＞0，
那么f（x1）＞f（x2）．
故f（x）= 在区间[0，1]上是减函数；
证法二：∵函数f（x）= ，令y= ，u=1﹣x2 ，
则y′= ，u′=﹣2x．
∴f′（x）= ，
当x∈[0，1）时，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立
当x=1时，f（x）=0
故f（x）= 在区间[0，1]上是减函数
【解析】f（x）= 在区间[0，1]上是减函数，理由如下：
证法一：设x1、x2∈﹣1，1]且x1＜x2 ， 作差判断出f（x1）＞f（x2）可得：f（x）= 在区间[0，1]上是减函数；
证法二：求导，根据当x∈[0，1）时，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立，当x=1时，f（x）=0可得：f（x）= 在区间[0，1]上是减函数；
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．