Question

【题目】已知函数，函数为函数的反函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若方程恰有一个实根，求实数的取值范围；

（3）设，若对任意，当时，满足，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

(1)令求解即可.

(2)化简等式得,再分情况讨论即可.

(3)根据分析的单调性与最值,利用二次函数的取值范围求解即可.

解：（1）因为为函数的反函数,

故,

得,

所以；

（2）由得；

当时,,经检验,满足题意；

当时,,经检验,满足题意；

当且时,,,,

若是原方程的解,当且仅当,即,

若是原方程的解,当且仅当,即,

于是满足题意的．

综上,的取值范围为．

（3）不妨令,则,

即函数在上为减函数；

,,

因为当,满足,

故只需,

即对任意成立．

因为,所以函数在上单调递增,

时,有最小值,

由,得,

故的取值范围为．