【题目】如图，在△ABC中，已知|AB|＝4 ，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．

参考答案：

【答案】

【解析】试题分析：先根据条件建立直角坐标系，根据正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用双曲线定义确定轨迹，并根据基本量求轨迹方程

试题解析：解：以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A(－2，0)，B(2，0)．设边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，由正弦定理得sin A＝，sin B＝，sin C＝ (R为△ABC外接圆的半径)．

∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2a＋c＝2b，即b－a＝.

从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2 <|AB|.

由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．∵a＝，c＝2，∴b2＝6.

∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．

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