Question

【题目】如图1，在等腰梯形中,,为中点, 点分别为的中点, 将沿折起到 的位置，使得平面平面(如图 ).

（1）求证:；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）侧棱上是否存在点,使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）要证，只需证明平面即可；（2）以为原点, 分别为轴建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，根据法向量与平面的两个向量的数量积为零，解得，进而可求解直线与平面所成角的正弦值；（3）假设在侧棱上存在点,使得平面,设，由四边形为菱形，且，结合（1）可知，平面，得到为平面的一个法向量．据此可求解的值.

试题解析：（1）如图1，在等腰梯形中, 由为中点, 所以为等边三角形．如图2, 因为为的中点，

所以又因为平面平面,且平面平面,

所以平面,所以.

（2）连结,由已知得,又为的中点，所以,

由（1）知平面,所以两两垂直,

以为原点, 分别为轴建立空间直角坐标系（如图）.

因为,易知,

设平面的一个法向量为,

由,得,即,取,得,

设直线与平面所成角为,则,

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（3）假设在侧棱上存在点,使得平面,设,

因为,

所以.

易证四边形为菱形，且,

又由（1）可知，平面为平面的一个法向量．

由,得,

所以侧棱上存在点,使得平面,且.