Question

【题目】在等比数列{an}中，a1=2，a3，a2+a4，a5成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足b1++…+=an（n∈N*），{bn}的前n项和为Sn，求使Sn﹣nan+6≥0成立的正整数n的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】

试题分析：（1）将已知条件转化为等差数列首相和公差表示可求得公差的值，从而确定通项公式；（2）由数列{bn}满足b1++…+=an ，b1++…++=an+1，可求得{bn}的通项公式，进而求得前n项和Sn，代入解不等式Sn﹣nan+6≥0可得n值

试题解析：（1）∵等比数列{an}中，a1=2，a3，a2+a4，a5成等差数列.

∴2（a2+a4）=a3+a5，

即2（a2+a4）=q（a2+a4），

∴q=2，

则an=a1qn﹣1=2×2n﹣1=2n，

即；

（2）∵数列{bn}满足b1+，

∴b1++…++=an+1，

两式相减得=an+1﹣an=2n+1﹣2n=2n，

则bn+1=（n+1）2n，即bn=n2n﹣1，n≥2，

当n=1时，b1=a1=2，不满足bn=n2n﹣1，n≥2.

即bn=.

当n=1时，不等式等价为S1﹣a1+6=6≥0成立，

当n≥2时，

Sn=2+221+322+423+…+n2n﹣1，①

则2Sn=4+222+323+424+…+n2n，②

②﹣①，得Sn=2+221﹣22﹣23﹣24﹣…﹣2n﹣1+n2n=6﹣+n2n=6+n2n=6+4﹣2n+1+n2n=10+（n﹣2）2n，

则当n≥2时，不等式Sn﹣nan+6≥0等价为10+（n﹣2）2n﹣n2n+6≥0，

即16﹣22n≥0，则2n≤8，得n≤3，

则n的最大值是3.