Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣lnx﹣1，若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+y﹣1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）函数g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）（m∈R）恰有两个零点x1 ， x2（x1＜x2），求函数g（x）的单调区间及实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）

由 ，且 ，解得a=1．

（2）解：因为g（x）=（1﹣m）（x﹣1）﹣lnx，x∈（0，+∞）

则 ．

（ⅰ）当1﹣m≤0即m≥1时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减

此时只存在一个零点，不合题意．

（ⅱ）当m＜1时，令g'（x）=0，解得 ．

当x变化时，g（x）与g'（x）的变化情况如下表：

x	（0， ）
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

由题意可知， ．

下面判断极小值的正负．

设h（m）=m+ln（1﹣m），m＜1

①当m=0时，h（0）=0，即g（x）极小=0

此时g（x）恰有一个零点不合题意

②当m≠0且m＜1时，

当m＜0时，h'（m）＞0； 当0＜m＜1时，h'（x）＜0

所以h（m）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，1）单调递减．

所以h（m）＜h（0）=0，此时g（x）恰有两个零点．

综上，m的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）．

【解析】（1）求出f（x）的导数，根据 ，求出a的值即可；（2）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围结合g（x）的单调性，求出g（x）的极小值，结合极小值的正负，求出m的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．