Question

【题目】如图，在四棱锥 中， ， ， 是 的中点， 是棱 上的点， ， ， ， .

（1）求证：平面 底面 ；
（2）设 ，若二面角 的平面角的大小为 ，试确定 的值.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AD//BC，BC= ，Q是AD的中点，

∴BC DQ，则四边形BCDQ为平行四边形，从而CD//BQ.

∵AD⊥CD，∴QB⊥AD.

∵PA=PD=2，AD=2，Q是AD的中点，∴

又∵QB=CD= ，

∴ ，即PQ⊥QB，又PQ AD=Q，∴BQ⊥平面PAD，∴平面PAD⊥底面ABCD.

（2）

解：∵PA=PD=2，Q是AD的中点，∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD 平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD.如图，以Q为原点建空间直角坐标系.

则平面BQC的法向量为

设 ，则 ,∵ ,∴

则 ，即 ， ， ，在平面MBQ中， , ，设平面MBQ的法向量为 ，由 ，得 ，取f=t，得 .∴平面MBQ的一个法向量为

∵二面角M-BQ-C的平面角的大小为30°，∴ ，解得t=3.

【解析】本题主要考查空间直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与直线垂直的判定与性质，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．