Question

【题目】已知

（1）设,，若函数存在零点，求a的取值范围；

（2）若是偶函数，求的值；

（3）在（2）条件下，设，若函数与的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由题意得方程有解，求出函数的值域即可得到所求的范围；

（2）根据偶函数的定义得，由此得到在R上恒成立，故得；（3）将问题转化为方程只有一解求解，整理后结合分类讨论并根据方程根的分布的知识求解即可．

（1）令，得．

∵函数存在零点，

∴方程有解.

又，

易知在上是减函数，

又，，

所以，

所以的取值范围是.

（2）方法1：

由题意得函数的定义域为R．

∵函数为偶函数，

∴

∴

∴，

∴．

检验：当时，，

∵

∴函数为偶函数，

∴．

方法2：

∵函数为偶函数，

∴，

∴，

∴，

∴在R上恒成立，

∴．

∴．

（3）∵与的图象只有一个公共点，

∴方程只有一解，

即只有一解，

又，

∴方程只有一解.

令，则关于t的方程有一正根，

∴方程有一正根，

（ⅰ）当b=1时，解得，不合题意；

（ⅱ）当时，

①若方程有两相等正根，则，

解得

②若方程有两不等实根且只有一个正根，

由于函数的图象恒过点，

故只需二次函数图象，即抛物线的开口向上，

∴

解得，

综上可得实数的取值范围．