Question

【题目】在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b= ，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且△ABC的面积S= sinC，求a和b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a=2，b= ，且a+b+c=8， ∴c=8﹣（a+b）= ，
∴由余弦定理得：cosC= = =﹣ ；
（Ⅱ）由sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC可得：sinA +sinB =2sinC，
整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，
∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∴sinA+sinB=3sinC，
利用正弦定理化简得：a+b=3c，
∵a+b+c=8，
∴a+b=6①，
∵S= absinC= sinC，
∴ab=9②，
联立①②解得：a=b=3
【解析】（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b= 求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S= sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．