【题目】（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温

[10，15）

[15，20）

[20，25）

[25，30）

[30，35）

[35，40）

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

参考答案：

【答案】

（1）的分布列为

（2）当为瓶时，的数学期望达到最大值。

【解析】

（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知

.

因此的分布列为

0.2

0.4

0.4

⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑

当时，

若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n

若最高气温位于区间，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;

因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n

当时，

若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;

因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n

所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。

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