Question

【题目】已知函数f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范围；
（2）当x∈[0，+∞）时，求函数y=g（x）﹣f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（3x+1），g（x）≥f（x），

∴3x+1≥x+1＞0，

∴x≥0．

即使g（x）≥f（x）成立的x的取值范围为[0，+∞）

（2）

解：∵y=g（x）﹣f（x）

=log2（3x+1）﹣log2（x+1）

=log2 （x≥0）．

令h（x）= =3﹣ ，

则h（x）为[0，+∞）上的增函数，

∴1≤h（x）＜3，

故y=g（x）﹣f（x）∈[0，log23]，

即函数y=g（x）﹣f（x）的值域为[0，log23]

【解析】（1）利用对数函数y=log2x的单调性即可求得g（x）≥f（x）成立的x的取值范围；（2）分析函数y=g（x）﹣f（x）的单调性，结合x∈[0，+∞）可得函数y=g（x）﹣f（x）的值域．
【考点精析】利用对数函数的定义域和对数函数的单调区间对题目进行判断即可得到答案，需要熟知对数函数的定义域范围:（0，+∞）；a变化对图象的影响：在第一象限内,a越大图象越靠低；在第四象限内,a越大图象越靠高．