Question

【题目】已知函数f（x）=loga ，（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）是否存在实数m使得f（x+2）+f（m﹣x）为常数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：f（x）=loga 为奇函数，下面证明：

解 ＞0可得定义域为{x|x＜﹣5或x＞5}，关于原点对称，

f（﹣x）=loga =﹣loga =﹣f（x），

∴函数f（x）为奇函数

（2）

解：假设存在这样的m，则f（x+2）+f（m﹣x）

=loga =loga ，

∴ 为常数，设为k，

则（k﹣1）x2+（m﹣2）（1﹣k）x﹣3（m﹣5）﹣7k（m+5）=0对定义域内的x恒成立

∴ ，解得

∴存在这样的m=﹣2

【解析】（1）f（x）=loga 为奇函数，求函数的定义域并利用奇函数的定义证明即可；（2）假设存在这样的m，则f（x+2）+f（m﹣x）=loga ，即 为常数，设为k，整理由多项式系数相等可得m和k的方程组，解方程组可得．
【考点精析】本题主要考查了函数的奇函数的相关知识点，需要掌握一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数才能正确解答此题．