Question

【题目】如图，已知点是圆心为半径为的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，点是圆心为半径为的半圆弧的中点，、分别是两个半圆的直径，，直线与两个半圆所在的平面均垂直，直线、共面.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求直线与所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意得出，可得出为等边三角形，由此求出、的长度，并计算出的面积，易知三棱锥的高等于，再由锥体体积公式可得出三棱锥的体积；

（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出与所成角的余弦值，从而可得出异面直线与所成角的余弦值.

（1）由于点是圆心为半径为的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，

则，是边长为的等边三角形，，且，

是以为直径的半圆上的一点，则，，

的面积为，

易知三棱锥的高等于，

则三棱锥的体积为；

（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，则、、、.

于是，.

由于，

因此，直线与所成角的余弦值为.