Question

【题目】如图，直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，为的中点

（1）若，证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

(1)本题首先可通过为的中点得出，然后根据三棱柱是直棱柱得出平面以及，再然后由得出，最后根据即可证得平面；

(2)首先可以过点作平面，然后根据线面角的相关性质可知为直线与平面所成的角，最后通过等体积法即可求得以及线面角的正弦值。

(1)因为△是正三角形，为的中点，所以.

因为三棱柱是直棱柱，所以平面，从而

因为四边形是矩形，且，，

所以,，

因为，，，所以平面。

(2)如图所示，过点作平面，垂足为，连结，则为直线与平面所成的角，

在中，，所以.

在中，，所以.

因为，所以.

所以，解得.

所以。