Question

【题目】已知过点的动直线与抛物线： 相交于， 两点.当直线的斜率是时， .

（1）求抛物线的方程；

（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：

（1）设抛物线方程为，与直线方程联立，并设，结合韦达定理可，而已知条件告诉我们有，这样可解得，得抛物线方程；

（2）设直线方程为，与抛物线方程联立方程组，同时设中点为，结合韦达定理可得，从而得中垂线方程，求出纵截距（关于的函数），由直线与抛物线相交可得的范围，从而可求得纵截距的范围．

试题解析：

（1）设， ，当直线的斜率是时， 的方程为，

即，由得：

，

①，②，

又， ③，

由①②③及得： ，得抛物线的方程为.

（2）设： ， 的中点坐标为，

由得④

， .

线段的中垂线方程为，

线段的中垂线在轴上的截距为：

对于方程④，由得或， .