Question

【题目】P（x0 ， y0）（x0≠±a）是双曲线E： 上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为 ．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E： 上一点，

∴ ，①

由题意又有 ，②

联立①、②可得a2=5b2，c2=a2+b2，

则e= ，

（2）联立 ，得4x2﹣10cx+35b2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2= ，x1x2= ，

设 =（x3，y3）， ，

即

又C为双曲线上一点，即x32﹣5y32=5b2，

有（λx1+x2）2﹣5（λy1+y2）2=5b2，

化简得：λ2（x12﹣5y12）+（x22﹣5y22）+2λ（x1x2﹣5y1y2）=5b2，

又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，所以x12﹣5y12=5b2，x22﹣5y22=5b2，

而x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5（x1﹣c）（x2﹣c）

=﹣4x1x2+5c（x1+x2）﹣5c2=﹣4 +5c ﹣5c2= ﹣35b2= 6b2﹣35b2=10b2，

得λ2+4λ=0，解得λ=0或﹣4．

【解析】（1）由P点坐标满足双曲线方程，直线PM，PN的斜率之积为 联立方程组可得a2=5b2，即可求出e的值。
（2）可求出过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线y=x-c，与双曲线联立方程组求出x1+x2，x1x2。由 可求出值。