Question

【题目】如图，已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，在直角梯形ABB1N中，AN∥BB1 ， AB⊥AN，CB=BA=AN= BB1 ．

（1）求证：BN⊥平面C1B1N；
（2）求二面角C﹣C1N﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形BB1C1C是矩形，∴BC⊥BB1，

∵平面BB1C1C⊥底面ABB1N，平面BB1C1C∩底面ABB1N=BB1，BC平面BB1C1C，

∴BC⊥平面ABB1N，

以B为原点，以BA，BB1，BC为坐标轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，

设AB=1，则B（0，0，0），N（1，1，0），B1（0，2，0），C1（0，2，1），C（0，0，1）

∴ =（1，1，0）， =（﹣1，1，0）， =（0，0，1），

∴ =﹣1+1=0， =0，

∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1，又NB1∩B1C1=B1，

∴BN⊥平面C1B1N．

（2）解： =（﹣1，1，1）， =（﹣1，﹣1，1）， =（0，2，0），

设平面BNC1的法向量为 =（x，y，z），则 ， =0，

∴ ，令x=1得 =（1，﹣1，2），

同理可得平面CNC1的法向量为 =（1，0，1），

∴cos＜ ＞= = ．

∴二面角C﹣C1N﹣B的大小为30°．

【解析】（1）证明BC⊥平面ABB1N，建立空间直角坐标系，利用向量证明BN⊥NB1，BN⊥B1C1，从而可证明BN⊥平面C1B1N；（2）分别求出平面BNC1和平面CNC1的法向量，计算法向量的夹角，从而可得二面角C﹣C1N﹣B的大小．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．