Question

【题目】已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，且满足b+ccosA=c+acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为 ，求△ABC的周长的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理得：sinB+sinCcosA=sinC+sinAcosC，…（2分）
又sinB=sin（A+C）=sinCcosA+sinAcosC，…（3分）
∴2cosA=1，A为△ABC内角，
∴ ．
（Ⅱ）在△ABC中 ，
∴bc=4，
由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，
周长 ，
当且仅当b=c=2时等号成立，
故△ABC的周长的最小值为6．
【解析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2cosA=1，结合A为△ABC内角，即可得解A的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求bc=4，由余弦定理，基本不等式即可求得△ABC的周长的最小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．