Question

【题目】已知p：x∈R，cos2x﹣sinx+2≤m；q：函数 在[1，+∞）上单调递减．
（I）若p∧q为真命题，求m的取值范围；
（II）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：若p为真，
令f（x）=cos2x﹣sinx+2，则m≥f（x）min ，
又f（x）=cos2x﹣sinx+2=cos2x﹣sinx+2=﹣2sin2x﹣sinx+3
又﹣1≤sinx≤1，
所以sinx=1时，
f（x）min=0，
所以m≥0
若q为真：
函数 在[1，+∞）上单调递减，
则 ，
所以m≤4
①若p∧q为真，则p，q均为真，所以m∈[0，4]；②若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假，即 即m＞4
或 即m＜0
所以m的取值范围为（﹣∞，0）∪（4，+∞）
【解析】先求出命题p，q为真时，m的取值范围，（ I）若p∧q为真命题，求两个范围的交集即可得到m的取值范围；（ II）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而可得m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．