Question

【题目】如图，是南北方向的一条公路，是北偏东方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线．为方便游客光，拟过曲线上的某点分别修建与公路，垂直的两条道路，，且，的造价分别为5万元百米，40万元百米，建立如图所示的直角坐标系，则曲线符合函数模型，设，修建两条道路，的总造价为万元，题中所涉及的长度单位均为百米．

（1）求解析式；

（2）当为多少时，总造价最低？并求出最低造价．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，总造价最低，最低造价为30万元．

【解析】

（1）求出的坐标，直线的方程，点到直线的距离，即可求解析式；

（2）利用导数的方法最低造价．

解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线的方程为，

所以点坐标为，

直线的方程为，

则点到直线的距离为，

又的造价为5万元百米，的造价为40万元百米．

则两条道路总造价为．

（2）因为，

所以，

令，得，列表如下：

		4
		0
	单调递减	极小值	单调递增

所以当时，函数有最小值，最小值为．

答：（1）两条道路，总造价为；

（2）当时，总造价最低，最低造价为30万元．