Question

【题目】设数列{an}，{bn}，{cn}满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意n∈N* ， 有bn+1= ，cn+1= ．
（1）求数列{cn﹣bn}的通项公式；
（2）若数列{an}和{bn+cn}都是常数项，求实数a的值；
（3）若数列{an}是公比为a的等比数列，记数列{bn}和{cn}的前n项和分别为Sn和Tn ， 记Mn=2Sn+1﹣Tn ， 求Mn＜ 对任意n∈N*恒成立的a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于bn+1= ，cn+1= ．

cn+1﹣bn+1= （bn﹣cn）=﹣ （cn﹣bn），

即数列{cn﹣bn}是首项为2，公比为﹣ 的等比数列，

所以cn﹣bn=2（﹣ ）n﹣1

（2）解：bn+1+cn+1= （bn+cn）+an，

因为b1+c1=4，数列{an}和{bn+cn}都是常数项，

即有an=a，bn+cn=4，

即4= ×4+a，解得a=2

（3）解：数列{an}是公比为a的等比数列，即有an=an，

由Mn=2Sn+1﹣Tn=2（b1+b2+…+bn）﹣（c1+c2+…+cn）

=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2bn+1﹣cn）

=2+a+a2+…+an，

由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．

由2+ ＜ 对任意n∈N*恒成立，

即有2+ ≤ ，

解得﹣1＜a＜0或0＜a≤ ．

故a的取值范围是（﹣1，0）∪（0， ]

【解析】（1）根据条件建立方程关系即可求出求数列{cn﹣bn}的通项公式；（2）b1+c1=4，数列{an}和{bn+cn}都是常数项，即有an=a，bn+cn=4，即可得到a=2；（3）由等比数列的通项可得an=an ， 由Mn=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2bn+1﹣cn）=2+a+a2+…+an ， 由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．运用等比数列的求和公式和不等式恒成立思想，计算即可得到a的范围．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．