Question

【题目】设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图像与x轴相切于M（3，0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有 ，

即 ，解得 ．

∴f（x）=x3﹣6x2+9x

（2）解：f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），

由f′（x）=0，得x=1或x=3．

当x∈（﹣∞，1），（3，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数，

当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数，

∴f（x）=x3﹣6x2+9x的极大值为4，极小值为0．

①若极值点3在[s，t]上，

∵函数的值域也是[s，t]，

∴0∈[s，t]，这与s＞0矛盾；

②若极值点1在[s，t]上，

∵函数的值域也是[s，t]，

∴4∈[s，t]，这与0＜s≤1≤t＜3矛盾；

③若f（x）=x3﹣6x2+9x在区间[s，t]上单调递增，

即0＜s＜t＜1或3＜s＜t，则 ，

即s，t是方程x3﹣6x2+9x=x的两个不同正根，解得 舍去；

④若f（x）=x3﹣6x2+9x在区间[s，t]上单调递减，

即1≤s＜t≤3，则 ，

两式相减并除以s﹣t得：（s+t）2﹣6（s+t）﹣st+10=0*，

两式相除并开方可得：s（s﹣3）=t（t﹣3），

∴s+t=3．代入*得st=1．

∴s，t为方程x2﹣3x+1=0的两根，

解得： ．

综上，存在 满足条件

【解析】（1）由已知得f′（x）=3x2+2ax+b．依题意f（3）=0，f′（3）=0，解方程即可求出f（x）=x3﹣6x2+9x； （2）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上，由此利用分类讨论思想能求出不存在正数s，t满足要求．