Question

【题目】已知圆： ,直线： .

（Ⅰ）求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长；

（Ⅱ）已知坐标轴上点和点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；最短弦长为 （Ⅱ）的取值范围为

【解析】【试题分析】（1）先依据题设求出动直线经过的定点坐标，进而断定其位置在圆内，再依据圆心与该点连线垂直弦最短求出的值及最短弦长；（2）依据题设条件设两点和的坐标分别为， 进而借助求出，再由在圆上，得，由在圆上，

得，从而将问题转化为“圆： 与圆： 有交点”，最后建立不等式求出的取值范围为：

解：（Ⅰ）由，

得，

因为的取值是任意的实数

所以，

解得，

所以直线恒过定点.

又，所以点在圆内，

故当时，所截得的弦长最短，

由题知圆心，半径

所以，得，

所以由，

得，

所以圆心到直线的距离为

所以最短弦长为

（Ⅱ）设， ，

由

得，

则有

由在圆上，

得，

由在圆上，

得，

所以圆： 与圆： 有交点，

则有，

解得，

故的取值范围为.