Question

【题目】设斜率不为0的直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为.

（1）求证：的值与直线的斜率的大小无关；

（2）设抛物线的焦点为，若，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由直线的方程与抛物线方程联立，求得，求得，

再直线与椭圆方程联立，求得，求的，代入化简，即可得到结论．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由得求得，由（1）中，求得弦长，再利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离，即可得到面积的表达式，进而求解面积的最大值．

试题解析：

（Ⅰ）设直线l：，，，，．

联立和，得，则，，

，

联立和得，

在的情况下，

，，

，

所以 是一个与k无关的值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，而由得

得m=4（m=0显然不合题意），

此时， ，，

，　　

点到直线的距离，

所以，　

（求面积的另法：将直线l与y轴交点（0,4）记为E，则

，也可得到）

设，则，

当且仅当，即时，有最大值．