Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1= ，∠ABC=60°．

（1）证明：AB⊥A1C；
（2）（理）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值大小．
（文）求此棱柱的体积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1= ，∠ABC=60°

∴AA1⊥AB，

∵三角形ABC中AB=1，AC= ，∠ABC=60°，

∴由正弦定理得 = ，∠ACB=30°

∴∠BAC=90°，

∴AB⊥AC；

∵AA1∩AC=A

∴AB⊥面A1CA；

∵A1C面A1CA；

∴AB⊥A1C

（2）解：（理）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，

由三垂线定理知BD⊥A1C，

∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角．

在Rt△AA1C中，AD= = ，

在Rt△BAD中，tan∠ADB= = ，

∴cos∠ADB= ，

即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为

（文）此棱柱的体积= = =

【解析】分析1）欲证AB⊥A1C，而A1C平面ACC1A1 ， 可先证AB⊥平面ACC1A1 ， 根据三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，可知AB⊥AA1 ， 由正弦定理得AB⊥AC，满足线面垂直的判定定理所需条件；（2）（理）作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，则∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可．（文）根据柱体的体积公式求解即可．