Question

【题目】已知以点C（t，） （t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
（1）求证：△AOB的面积为定值；
（2）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程．

Answer 1

【答案】解：（1）证明：由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，
化简得x2﹣2tx+y2﹣y=0．
当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；
当x=0时，y=0或，则B(0,)，
∴S△AOB=OAOB=|2t|||=4为定值．
（2）解∵OM=ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，KMN=﹣2，则直线OC的斜率k===，
∴t=2或t=﹣2．
∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1），
∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5．
由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d＞r，
此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴所求的圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．
【解析】（1）设出圆C的方程，求得A、B的坐标，再根据S△AOB=OAOB，计算可得结论．
（2）设MN的中点为H，则CH⊥MN，根据C、H、O三点共线，KMN=﹣2，由直线OC的斜率k=== ， 求得t的值，可得所求的圆C的方程．